Question

【題目】已知橢圓方程，其左焦點、上頂點和左頂點分別為， ， ，坐標原點為，且線段， ， 的長度成等差數列．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若過點的一條直線交橢圓于點， ，交軸于點，使得線段被點， 三等分，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．

【解析】試題分析: （Ⅰ）由線段， ， 的長度成等差數列,以及,可求得離心率; （Ⅱ）設直線的方程為，先研究的情況，根據，求出將直線的方程和橢圓方程聯立求出點的橫坐標，根據對稱性可知直線的斜率．

試題解析:（Ⅰ）依題意有，

把上式移項平方并把，代入得，

所以橢圓的離心率．

（Ⅱ）設直線的方程為，先研究的情況，要使，

則， ，

因此．

將直線的方程和橢圓方程聯立可得解得

由于點的橫坐標為，因此也等于，

由對稱性可知直線的斜率為或．