Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）（c為常數）
（1）證明：是等差數列；
（2）問是否存在正整數p、q（p±q）使a_p=a_q成立？若存在，請寫出C滿足的條件，若不存在，說明理由．
（3）設，若當n≥4，數列{b_n}為遞數列，試求c的最小值．

Answer 1

解：（1）∵na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）
∴，即
從而數列{ }是首項為1，公差為c的等差數列
（2）若要使存在正整數p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，
則p+p（p-1）c=p+q（q-1）c
∴p+q=1-，又p+q≥3
令p+q=k（k∈N且k≥3），則c=（k∈N且k≥3）．
（3）
∵數列{b_n}為遞減數列
∴
=對任意的n∈N^*恒成立
∴-cn²+（3c-1）n+1＜0，即c（3n-n²）＜n-1①
當n=1時，由①得c＜0
當n=2時，由①得c＜
當n=3時，由①得c∈R
當n≥4時，c＞
設f（x）=，則f′（x）=
∴f（x）在[4，+∞）上是增函數，從而-
∴c≥0
綜上可知，滿足條件的實數c不存在．
分析：（1）根據na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）化簡變形，然后根據等差數列的定義進行判定是等差數列即可；
（2）先根據（1）求數列{b_n}的通項公式，由數列{b_n}為遞減數列，可得到b_n+1-b_n＜0對任意的n∈N^*恒成立，通過n=1、2、3分別求出c的范圍，再由根據函數的單調性求出的c的范圍與上面求出的c的范圍矛盾，得到實數c不存在．
（3）若要使存在正整數p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，則p+p（p-1）c=p+q（q-1）c，然后求出c的值．
點評：本題主要考查了等差數列的判定，構造法求出函數的導數，判斷函數的單調性，以及新數列是等差數列的充分不必要條件，同時考查了計算能力，注意p+q的范圍，屬于中檔題．