Question

【題目】如圖，在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，AC的中點，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等邊三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．

（1）證明：B1C∥平面A1DE；

（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（Ⅰ）先證明B1B∥平面A1DE，BC∥平面A1DE，再證平面B1BC∥平面A1DE，即證B1C∥平面A1DE. （Ⅱ）以ED，EC，EB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系E﹣xyz，利用向量法求求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．

（Ⅰ）證明：因為A1B1∥AB，AB=2A1B1，D為棱AB的中點，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，

所以四邊形A1B1BD為平行四邊形，從而BB1∥A1D．

又BB1平面A1DE，A1D平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，

因為DE是△ABC的中位線，所以DE∥BC，

同理可證，BC∥平面A1DE．

因為BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，

又B1C平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．

（Ⅱ）以ED，EC，EB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系E﹣xyz，

設BC=a，則A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），=（0，0，），

則=（0，a，），=（a，2a，0）．

設平面ABB1的一個法向量=（x1，y1，z1），

則，即，取z1=1，得=（，，1）．

同理，設平面BB1C的一個法向量=（x，y，z），

又=（0，-a，），=（-a，0，0），

由，得，取z=﹣1，得=（0，，-1），

以==，

故二面角A﹣BB1﹣C的余弦值為：．