Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥ABC，AC=3，BC=4，AB=5，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
（I）求證：AC⊥BC₁；（ II）求證：AC₁∥面CDB₁．

Answer 1

證明：（ I）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，∴AC⊥BC₁；…（6分）
（ II）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連接DE，
∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁；…（6分）
分析：（I）利用三垂線定理證明AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，即可證明AC⊥BC₁；
（II）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連接DE，證明DE∥AC₁，然后證明AC₁∥平面CDB₁．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查幾何體中直線與直線的垂直，直線與平面平行的證明，考查三垂線定理與直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用．