Question

【題目】已知函數.

（1）函數，討論的單調性；

（2）函數（）的圖象在點處的切線為，證明：有且只有兩個點使得直線與函數的圖象也相切.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先對求導，然后對a分類討論，求出單調區間即可；

（2）設（），可求出直線的方程為：，假設直線與的圖象也相切，切點為，所以直線的方程也可以寫作為：，又因為斜率相等可得，即，由此可得，令（），然后結合零點存在性定理證明即可.

（1）（），所以，

①當即時：在上單調遞增；

②當即時：令有：，

所以：在單調遞減，在上單調遞增；

（2）設（），

，所以：，

所以直線的方程為：，即：，①

假設直線與的圖象也相切，切點為，

因為，所以：，

所以直線的方程也可以寫作為：，

又因為，即：，

所以直線的方程為：，即：，②

由①②有：，即：，

令（），

所以，

令，得：，

所以：在上單調遞減，在上單調遞增，

所以：，

又因為：當時，；當時，，

所以：在有且只有兩個實數根，

所以有且只有兩個點使得直線與函數的圖象也相切.