Question

【題目】已知函數.

（1）若在上為增函數，求實數的取值范圍；

（2）當時，函數有零點，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.

【解析】試題分析：（1）在上為增函數，等價于在上恒成立，分類討論，當時，由函數的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，所以在上恒成立，構造函數，要使在上恒成立，只要即可，從而可求實數的取值范圍；（2）當時，方程有實根，等價于在上有解，即求的值域．構造（），證明在上為增函數，在上為減函數，即可得出結論.

試題解析：（1）∵函數在區間上為增函數，

∴在區間上恒成立，

①當時，在上恒成立，

∴在上為增函數，故符合題意.

②當時，由函數的定義域可知對恒成立，

故只能，∴在上恒成立，

令函數，其對稱軸為，

∵，∴，要使在上恒成立，只要即可，

即，∴，

∵，∴，綜上所述，的取值范圍為.

（2）當時，函數有零點等價于方程：

有實根，可化為：

.

等價于在上有解，

即求函數的值域，

∵函數，

令函數，則，

∴當時，，從而函數在上為增函數，

當時，，從而函數在上為減函數，

因此，而，∴，

故當時，取得最大值0.