Question

已知函數y=

1

3

x3+x2+x的圖象C上存在一點P滿足：若過點P的直線l與曲線C交于不同于P的兩點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），恒有y₁+y₂為定值y₀，則y₀的值為（　　）

• A．-

  1

  3

• B．-

  2

  3

• C．-

  4

  3

• D．-2

Answer 1

分析：根據題意可知P點是函數圖象的對稱中心，由此求出函數的對稱中心，即可求出定值，從而得出正確選項．

解答：解：P為定點，y₁+y₂為定值，可以得出M、N兩點關于P點對稱
y′=x²+2x+1
y〃=2x+2
由于三次函數的對稱中心點處的二階導數為0
∴y〃=2x+2=0
x=-1
故P點為（-1，-

1

3

）
y₀=y₁+y₂=-

1

3

×2=-

2

3

故選B．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，P點是函數圖象的對稱中心是解題的突破口，屬于中檔題．