Question

【題目】已知函數f（x）＝2x3﹣3ax2+1．

（1）若a＝﹣1，求函數f（x）的單調區間；

（2）若函數f（x）有且只有2個不同的零點，求實數a的值；

（3）若函數y＝|f（x）|在[0，1]上的最小值是0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數f（x）的增區間為（﹣∞，﹣1），（0，+∞），減區間為（﹣1，0）

（2）1

（3）[1，+∞）

【解析】

(1)求出的導數,解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可;

(2)通過討論的范圍,確定函數的單調性, 函數有且只有個不同的零點即可求得的值;

(3)通過討論的范圍,確定函數的單調性,再根據函數在上的最小值是并結合圖像可求得實數的取值范圍.

（1）時，．

當，時，

,

當時，，

故函數的增區間為，，減區間為．

（2），

①時，在上單調遞增，不存在兩個零點；

②時，在，遞增，在遞減．

其圖象如下：

函數不存在2個不同的零點；

③時，在，遞增，在遞減．

其圖象如下：

只需，即可

綜上，函數有且只有個不同的零點，實數的值為.

（3）①時，在上單調遞增，，不符合題意；

②時，在遞增，，不符合題意；

③時，在，遞增，在遞減．

圖象如下：

要使函數在上的最小值是，只需，,

故實數的取值范圍為．