Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點為線段上的點，過三點的平面與交于點.將①，②，③中的兩個補充到已知條件中，解答下列問題：

（1）求平面將四棱錐分成兩部分的體積比；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

若補充②③根據已知可得平面，從而有，結合，可得

平面，故有，而，得到，②③成立與①②相同，

①③成立，可得，所以任意補充兩個條件，結果都一樣，以①②作為條件分析;

（1）設，可得，進而求出梯形的面積，可求出，即可求出結論；

（2），以為坐標原點，建立空間坐標系，求出坐標，由（1）得為平面的法向量，根據空間向量的線面角公式即可求解.

第一種情況：若將①，②作為已知條件，解答如下：

（1）設平面為平面.

∵，∴平面，而平面平面，

∴，又為中點.

設，則.

在三角形中，，

由知平面，

∴，

∴梯形的面積

，

，，

平面，

，，

∴，

故，.

（2）如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，

設，則

，

由（1）得為平面的一個法向量，

因為，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

第二種情況：若將①，③作為已知條件，

則由知平面，，

又，所以平面，，

又，故為中點，即，解答如上不變.

第三種情況：若將②，③作為已知條件，

由及第二種情況知，又，

易知，解答仍如上不變.