Question

【題目】已知橢圓C：（）的左右焦點(diǎn)分別為，.橢圓C上任一點(diǎn)P都滿(mǎn)足，并且該橢圓過(guò)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，交該橢圓于點(diǎn)M，求證：三點(diǎn)共線(xiàn).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)求出，再將點(diǎn)代入橢圓方程得到，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）由(Ⅰ)確定的坐標(biāo)，設(shè)，，，以及直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求出直線(xiàn)的方程，即可證明結(jié)論成立.

設(shè)出

(Ⅰ)依題意，，故.

將代入中，解得，故橢圓： .…

（Ⅱ）由題知直線(xiàn)的斜率必存在，設(shè)的方程為 .……………

點(diǎn)，，，聯(lián)立得.

即

，， …

由題可得直線(xiàn)方程為. …

又，.

直線(xiàn)方程為.

令，整理得

，即直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,0).

又橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴三點(diǎn)，，在同一直線(xiàn)上.