Question

已知Sn是正數數列{an}的前n項和，S12，S22、……、Sn2 ……，是以3為首項，以1為公差的等差數列；數列{bn}為無窮等比數列，其前四項之和為120，第二項與第四項之和為90。

(1)求an、bn；

(2)從數列{}中能否挑出唯一的無窮等比數列，使它的各項和等于。若能的話，請寫出這個數列的第一項和公比?若不能的話，請說明理由。

Answer 1

（1）an=(n??N)；bn=3n(n??N)（2）見解析

解析:

(1){Sn}是以3為首項，以1為公差的等差數列；所以Sn2=3+(n–1)=n+2

因為an>0，所以Sn=(n??N)，當n≥2時，an=Sn–Sn–1=–，又a1=S1=，所以an=(n??N) ，設{bn}的首項為b1，公比為q，則有 ，所以，所以bn=3n(n??N)，

(2)=()n，設可以挑出一個無窮等比數列{cn}，首項為c1=()p，公比為()k，(p、k??N)， 它的各項和等于=，則有，所以()p=[1–()k]， 當p≥k時3p–3p–k=8，即3p–k(3k–1)=8， 因為p、k??N，所以只有p–k=0，k=2時，即p=k=2時，數列{cn}的各項和為。當p<k時，3k–1=8.3k–p，因為k>p右邊含有3的因數，而左邊非3的倍數，不存在p、k??N，所以唯一存在等比數列{cn}，首項為，公比為，使它的各項和等于。