Question

過平行四邊形ABCD的頂點B、C、D的圓與直線AD相切，與直線AB相交于點E，已知AD=4，CE=5．
（1）如圖1，若點E在線段AB上，求AE的長；
（2）點E能否在線段AB的延長線上？（即圖2的情形是否存在？）若能，求出AE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓的內接梯形得線段相等，再利用切割線定理解決第（1）題，
（2）而第（2）題是探究性問題，利用反證法證明，應假設其存在，再推出矛盾或符合題意．
解答：解：（1）由圓的內接梯形知BD=EC=5，
由同弧上的圓周角和弦切角的關系可得
△DCE為等腰三角形，且AB=CD=CE=BD，
再由切割線定理得：AD²=AB•AE，
∵AD=4，AB=CE=5，
∴得AE=3.2；
（2）點E不能在AB的延長線上．
假設圖形（2）存在，
則由已知得AB=BD=CE，
又AD²=AB•AE=CE•AE≥CE²，
∴CE²≤16，
即CE≤4與已知矛盾．
故假設不存在，
點E不能在AB的延長線上．
點評：本題主要考查了反證法、圓的切割線定理等，對于探究性問題，常利用反證法進行證明，首先應假設其存在，再推出矛盾或符合題意．