Question

【題目】已知函數為奇函數，，其中.

（1）若函數的圖像過點，求實數和的值；

（2）若，試判斷函數在上的單調性并證明；

（3）設函數，若對每一個不小于3的實數，都恰有一個小于3的實數，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ; (2)在上單調遞增;

(3)

【解析】

(1)由奇函數可得,再代入即可.

(2)設再計算的正負即可判斷單調性.

(3)由題意可分,與三種情況進行討論再根據與的值域關系進行不等式求解.

(1)因為為奇函數,故,又函數的圖像過點故.即.

(2)由題,,

當時, ,設,

則

因為,故,,,

故.所以

故在上單調遞增.

(3)當時,

當時,

1.當時,, ,又,

不滿足條件,

2.當時, ,,

又,,

由題意恒成立,故滿足條件.

3.當時, ,,

,,

由題意有,此時，即

令函數,易得為減函數且.

則解可得.此時

綜上