Question

【題目】已知橢圓的離心率為，長軸長為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓交于，兩點，坐標原點在以為直徑的圓上，于點．試求點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）根據離心率得定義，長軸的定義，以及a，b，c的關系即可求出橢圓得標準方程；

（Ⅱ）設出A，B點的坐標，直線l方程，再令直線l方程與橢圓方程聯立，求出，，根據且OA⊥OB（O為坐標原點），OH⊥AB于H點．用參數表示H點坐標，把參數消掉，即可得到點H的軌跡方程．

（Ⅰ）由題意知，，，．

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）設，

⑴若軸，可設，因，則．

由，得，即．

若軸，可設，同理可得．

⑵當直線的斜率存在且不為0時，設，

由，消去得．

則．

．

由，得．

故 ，即（*）．

由，可知直線的方程為．

聯立方程組，得（記為②）．

代入（*）式，化簡得．

綜合⑴⑵，可知點的軌跡方程為．