Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，點M在線段PC上，且PM=2MC，N為AD的中點．

（1）求證：平面PAD⊥平面PNB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P﹣NBM的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA=PD，N為AD的中點，∴PN⊥AD，

∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴PA=AB，AN=AN，∠PAN=∠BAN，

∴△PNA≌△BNA，則BN⊥AD，

∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB，

又AD平面PAD，∴平面PAD⊥平面PNB

（2）解：∵PA=PD=AD=2，∴PN=NB= ，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，

∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥BN，

∴S△PNB= × × = ，

∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB，

∵PM=2MC，∴VP﹣NBM=VM﹣PNB= VC﹣PNB= × × ×2= ．

【解析】（1）由題意證明△PNA≌△BNA，得到BN⊥AD，再由線面垂直的判定證得AD⊥平面PNB，最后由面面垂直的判定得答案；（2）由面面垂直的性質得到PN⊥平面ABCD，進一步得到PN⊥BN，再由等積法把三棱錐P﹣NBM的體積轉化為棱錐C﹣PNB的體積求解．
【考點精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．