Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）若時，，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）分別在、和三種情況下，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，則，結(jié)合零點存在定理可確定的最大值為，，利用導(dǎo)數(shù)可求得其值域，進(jìn)而得到整數(shù)的最小值.

（1）由題意得：，

令，則，

當(dāng)，即時，，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，即或時，

令，解得：，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，

當(dāng)時，；當(dāng)和時，，

在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

綜上所述：當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）由得：在上恒成立，

令，則，

令，則，，

，在區(qū)間上存在零點，

設(shè)零點為，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，，

設(shè)，則，

上單調(diào)遞增，，即，

整數(shù)的最小值為.