Question

若集合A₁，A₂滿足A₁∪A₂=A，則稱（A₁，A₂）為集合A的一種分拆，并規定：當且僅當A₁=A₂時，（A₁，A₂）與（A₂，A₁）為集合A的同一種分拆，
（1）集合A={a，b}的不同分拆種數為多少？
（2）集合A={a，b，c}的不同分拆種數為多少？
（3）由上述兩題歸納一般的情形：集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}的不同分拆種數為多少？（不必證明）

Answer 1

分析：（1）根據拆分的定義，對A₁分以下幾種情況討論：A₁=φ，A₁={a}，A₁={a，b}．
（2）考慮集合A₁為空集，有一個元素，2個元素，和集合A相等四種情況，由題中規定的新定義分別求出各自的分析種數，然后把各自的分析種數相加，即可求出值．當A₁為A時，A₂可取A的任何子集，此時A₂有8種情況，故拆法為8種；總之，共27種拆法．
（3）集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}的不同分拆種數為3ⁿ．

解答：解（1）A₁=φ 時，A₂=A，此時只有1種分拆；
A₁為單元素集時，A₂=C_UA₁或A，此時A₁有二種情況，故拆法為4種；
當A₁為A時，A₂可取A的任何子集，此時A₂有4種情況，故拆法為4種；總之，共9種拆法
（2）A₁=φ 時，A₂=A，此時只有1種分拆；
A₁為單元素集時，A₂=C_UA₁或A，此時A₁有三種情況，故拆法為6種；
A₁為雙元素集時，例如A₁={a，b}，A₂={c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，A₁有三種情況，拆法為12種；
當A₁為A時，A₂可取A的任何子集，此時A₂有8種情況，故拆法為8種；總之，共27種拆法
（3）集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}的不同分拆種數為3ⁿ

點評：本題屬于創新型的概念理解題，準確地理解拆分的定義，以及靈活運用集合并集的運算和分類討論思想是解決本題的關鍵所在．