Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，為的中點．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1) 取的中點,連接,根據中位線的方法證明四邊形是平行四邊形.再證明與從而證明平面,從而得到平面即可.

(2) 以所在的直線為軸建立空間直角坐標系,再求得平面的法向量與平面的法向量進而求得二面角的余弦值即可.

（1）證明：如圖,取的中點,連接.

又為的中點,則是的中位線.所以且.

又且,所以且.所以四邊形是平行四邊形.

所以.因為,為的中點,所以.

因為,所以.因為平面,所以.

又,所以平面.所以.

又,所以平面.又,所以平面.

（2）易知兩兩互相垂直,所以分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：

因為,所以點.

則.設平面的法向量為,

由,得,

令,得平面的一個法向量為；顯然平面的一個法向量為；

設二面角的大小為,則.

故二面角的余弦值是.