Question

【題目】已知函數

（1）當x∈[0，π]時，f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍；(參考數據：sin1≈0.84)

（2）當a=1時，數列{an}滿足：0<an<1，=f(an)，求證：{an}是遞減數列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

求導，，分，， 三種情況討論求解.

（2）要證{an}是遞減數列.即證，由a=1，構造函數，用導數法證明即可.

因為，所以，

設，

當時，即時，因為，

所以，而，所以

即f(x)≥0恒成立，

當時，，

所以在[0，π]上遞增，而，

所以，所以在[0，π]上遞增，

即成立，

當時，，

所以在[0，π]上遞增，

而，

所以存在，有，

當時，，遞減，

當時，，遞增，

所以當時，取得最小值，最小值為，

而，不成立

綜上：實數a的取值范圍.

（2）因為a=1，所以，

令，

所以，設

所以，

所以在上遞增，

而，

所以存在，，

當時，，遞減，

當時，，遞增，

而，

所以，

即當時，，

而，，

所以{an}是遞減數列.