Question

【題目】如圖，在四棱錐中， ， ∥，且 , ， .

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直進行論證，而線面垂直證明，往往需要多次利用線線垂直與線面垂直的轉化，而線線垂直，有時可利用平幾條件進行尋找與論證，如本題取中點E，利用平幾知識得到四邊形是矩形，從而得到，而易得，因此，進而有平面平面；（2）利用空間向量求線面角，首先建立空間直角坐標系：以A 為原點， 為軸, 為軸,建立空間直角坐標角系，設出各點坐標，利用方程組解出面的法向量，利用向量數量積求夾角，最后根據線面角與向量夾角互余得結論

試題解析：解：證明：（1）為中點, , ,且四邊形是矩形, ,又平面,且,在平面中, 平面平面,又平面平面,平面平面.

（2）以A 為原點， 為軸, 為軸,建立空間直角坐標角系，

,

則

設平面的法向量,則,取,得,

設直線與平面所成的角為, ,

直線與平面所成的角的正弦值為.