Question

設數列{a_n}是公比為q的等比數列，S_n是它的前n項和．
（1）求證：數列{S_n}不是等比數列；
（2）數列{S_n}是等差數列嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）假設數列{S_n}是等比數列，則S₂²=S₁S₃，利用等比數列的求和公式可求q，結合等比數列的公比性質可判斷
（2）分q=1，q≠1兩種情況分別利用等比數列的求和公式代入即可證明

解答：解：（1）證明：假設數列{S_n}是等比數列，則S₂²=S₁S₃，
即a₁²（1+q）²=a₁•a₁（1+q+q²），
因為a₁≠0，所以（1+q）²=1+q+q²，即q=0，這與公比q≠0矛盾，
所以數列{S_n}不是等比數列．
（2）當q=1時，{S_n}是等差數列；當q≠1時，{S_n}不是等差數列，
否則2S₂=S₁+S₃，即2a₁（1+q）=a₁+a₁（1+q+q²），得q=0，這與公比q≠0矛盾，
所以數列{S_n}不是等差數列．

點評：本題主要考查了等比數列的求和公式的應用，等比數列的性質及等差數列的判斷，屬于基礎試題