Question

【題目】在平面直角坐標系中，P為直線：上的動點，動點Q滿足，且原點O在以為直徑的圓上.記動點Q的軌跡為曲線C

（1）求曲線C的方程：

（2）過點的直線與曲線C交于A，B兩點，點D（異于A，B）在C上，直線，分別與x軸交于點M，N，且，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設動點，表示出，再由原點O在以為直徑的圓上，轉化為，得到曲線C的方程.

（2）設而不解，利用方程思想、韋達定理構建面積的函數關系式，再求最小值.

解：（1）由題意，不妨設，則，，

∵O在以為直徑的圓上，∴，∴，

∴，∴曲線C的方程為.

（2）設，，，，，

依題意，可設：（其中），由方程組消去x并整理，得

，則，，

同理可設，，

可得，，

∴，，

又∵，∴，

∴，∴，

∴

，

∴，

∴當時，面積取得最小值，其最小值為.