Question

已知函數(shù)f(x)在定義域R上可導(dǎo)，設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y＝f(x)的圖象上距離原點(diǎn)O最近的點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，f(a))，求證：a＋f(a)(a)＝0；

(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象不通過坐標(biāo)原點(diǎn)O，證明直線OP與函數(shù)y＝f(x)的圖象上過P點(diǎn)的切線互相垂直．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設(shè)Q(x，)為上的動(dòng)點(diǎn)，則． 　　設(shè)，則 　　已知P是函數(shù)的圖象上距離原點(diǎn)O最近的一點(diǎn)， 　　為F(x)的最小值，即F(x)在處有最小值，即，可得； 　　(2)線段OP的斜率為的圖形上過P點(diǎn)的切線l的斜率為，由(1)知，因?yàn)閳D象不過原點(diǎn)，∴a≠0，得到． 　　∴OP⊥l，即直線OP與函數(shù)的圖象上過P點(diǎn)的切線垂直．