Question

已知f(x)=logax(0＜a且a≠1)的圖象過點(4，2)， (1)求a的值； (2)若g(x)=f(1-x)+f(1+x)，求g(x)的解析式及定義域； (3)求g(x)單調減區間．

．

Answer 1

分析：（1）將點的坐標，代入函數解析式，即可求得a的值；
（2）利用f（x）的解析式，可得函數g（x）的解析式，并可確定函數的定義域；
（3）確定內函數的單調減區間，即可得到結論．

解答：解：（1）∵函數的圖象過點（4，2），
∴2=log_a4，∴a²=4
∵a＞0且a≠1，∴a=2；
（2）g（x）=f（1-x）+f（1+x）=log₂（1-x）+log₂（1+x）
由

1-x＞0 1+x＞0

，可得-1＜x＜1，
∴g（x）的定義域為（-1，1）；
（3）g（x）=log2(1-x2)（x∈（-1，1））
∵t=1-x²（x∈（-1，1））的單調減區間為（0，1），y=log₂t為單調增函數
∴g（x）=log2(1-x2)的單調減區間為（0，1）．

點評：本題考查函數解析式的確定，考查函數的定義域與單調區間，屬于中檔題．