Question

【題目】已知函數，其中且．

（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；

（2）證明：當時，函數在上為減函數；

（3）求函數的值域．

Answer 1

【答案】（1）為偶函數；（2）證明見解析；

（3）當時，值域為；當時，值域為.

【解析】試題分析：（1）先判斷定義域是否關于原點對稱，再驗證還是；（2）按照單調性的定義進行證明即可；（3）令，由條件可得，

然后分和兩種情況求函數的值域。

試題解析：

（1）要使函數有意義，需滿足，

解得

∴ 函數的定義域為，

∵

∴函數為偶函數。

（2）由題意得,

設，且，則

∵

又 ， ，

∴，

∴

又

∴

∴

∴ 函數在上為減函數.

（3）令，則。

∵，

∴

當時， ，故函數的值域為，

當時， ，故函數的值域為。

綜上可得當時，函數的值域為；當時，函數的值域為。