Question

若存在實常數k和b，使得函數f（x）和g（x）對其定義域上的任意實數x分別滿足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為f（x）和g（x）的“隔離直線”．已知h（x）=x²，φ（x）=2elnx（e為自然對數的底數）．
（1）求F（x）=h（x）-φ（x）的極值；
（2）函數h（x）和φ（x）是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f（x）和φ（x）的解析式，求出函數F（x）的解析式，根據求導公式，求出函數的導數，根據導數判斷函數的單調性并求極值
（2）由（1）可知，函數f（x）和φ（x）的圖象在（

e

，e）處相交，即f（x）和φ（x）若存在隔離直線，那么該直線必過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y-e=k（x-

e

），即y=kx-k

e

+e，根據隔離直線的定義，構造方程，可求出k值，進而得到隔離直線方程．

解答：解：（1）∵F（x）=f（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0），
∴F′（x）=2x-

2e

x

=

2(x2-e)

x

=

2(x + e )(x - e )

x

令F′（x）=0，得x=

e

，
當0＜x＜

e

時，F′（x）＜0，x＞

e

時，F′（x）＞0
故當x=

e

時，F（x）取到最小值，最小值是0
（2）由（1）可知，函數f（x）和φ（x）的圖象在（

e

，e）處相交，
因此存在f（x）和φ（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，
設隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y-e=k（x-

e

，即y=kx-k

e

+e
由f（x）≥kx-k

e

+e（x∈R），可得x²-kx+k

e

-e≥0當x∈R恒成立，
則△=k²-4k

e

+4e=（k-2

e

）²≤0，
∴k=2

e

，此時直線方程為：y=2

e

x-e，
下面證明φ（x）≤2

e

x-e^{exx＞0時恒成立
令G（x）=2}

e

x-e-φ（x）=2

e

x-e-2elnx，
G′（x）=2

e

-

2e

x

=（2

e

x-2c）/x=2

e

（x-

e

）/x，
當x=

e

時，G′（X）=0，當0＜x＜

e

時G′（x）＞0，
則當x=

e

時，G（x）取到最小值，極小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2

e

x-e-g（x）≥0，則φ（x）≤2

e

x-e當x＞0時恒成立．
∴函數f（x）和φ（x）存在唯一的隔離直線y=2

e

x-e

點評：本題考查的知識點是函數的求導，利用導數求最值，屬于中檔題，主要做題要仔細．