Question

已知函數f(x)=

1

2

+ln

x

1-x

．
（Ⅰ）求證：存在定點M，使得函數f（x）圖象上任意一點P關于M點對稱的點Q也在函數f（x）的圖象上，并求出點M的坐標；
（Ⅱ）定義Sn=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的S_n，求證：對于任意n∈N^*都有lnSn+2-lnSn+1＞

1

n2

-

1

n3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題中已知條件可知函數f（x）上的點P和點Q關于點M對稱，可根據f（x）+f（2a-x）=2b可以求出a和b的值，進而可以證明；
（Ⅱ）根據題中已知條件先求出S_n的表達式，進而將n=2011代入即可求出S₂₀₁₁的值；
（Ⅲ）根據（Ⅱ）中求得的Sn的表達式先求出lnSn+2-lnSn+1的表達式，即可證明lnSn+2-lnSn+1＞

1

n2

-

1

n3

．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：函數定義域為（0，1）．
設點M的坐標為（a，b），
則由f(x)+f(2a-x)=

1

2

+ln

x

1-x

+

1

2

+ln

2a-x

1-2a+x

=1+ln

-x2+2ax

-x2+2ax+1-2a

=2b，
對于x∈（0，1）恒成立，
于是

1-2a=0 1=2b.

，
解得a=b=

1

2

．
所以存在定點M(

1

2

，

1

2

)，使得函數f（x）的圖象上任意一點P關于M點對稱的點Q也在函數f（x）的圖象上．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）+f（1-x）=1，
∵Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-2

n

)+f(

n-1

n

)…①
∴Sn=f(1-

1

n

)+f(1-

2

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)…②
①+②，得2S_n=n-1，
∴Sn=

n-1

2

(n≥2，n∈N*)，
故S₂₀₁₁=1005．
（Ⅲ）當n∈N^*時，由（Ⅱ）知lnSn+2-lnSn+1=ln

Sn+2

Sn+1

=ln(1+

1

n

)，
于是lnSn+2-lnSn+1＞

1

n2

-

1

n3

等價于ln(1+

1

n

)＞

1

n2

-

1

n3

．…（10分）
令g（x）=x³-x²+ln（1+x），則g′(x)=

3x3+(x-1)2

x+1

，
∴當x∈[0，+∞）時，g'（x）＞0，即函數g（x）在[0，+∞）上單調遞增，又g（0）=0．
于是，當x∈（0，+∞）時，恒有g（x）＞g（0）=0，即x³-x²+ln（1+x）＞0恒成立．…（12分）
故當x∈（0，+∞）時，有ln（1+x）＞x²-x³成立，取x=

1

n

∈(0，+∞)，
則有ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

成立．…（14分）

點評：本題主要考查了數列的遞推公式以及數列與函數的綜合應用，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．