Question

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且PG=4，AG=

1

3

GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點．
（1）求異面直線GE與PC所成的角的余弦值；
（2）求點D到平面PBG的距離；
（3）若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求

PF

FC

的值．

Answer 1

分析：（1）以G點為原點，GB，GC，GP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，寫出兩條異面直線對應的向量，根據兩個向量的所成的角確定異面直線所成的角．
（2）計算點到面的距離，需要先做出面的法向量，在法向量與點到面的一個點所成的向量之間的運算，得到結果．
（3）設出點的坐標，根據兩條線段垂直，得到兩個向量的數量積等于0，解出點到坐標，根據向量的模長之比等于線段之比，得到結果．

解答：解：（1）以G點為原點，GB，GC，GP為x軸、y軸、
z軸建立空間直角坐標系，則B（2，0，0），C（0，2，0），

P（0，0，4），故E（1，1，0）

GE

=（1，1，0），

PC

=（0，2，4）．
cosθ=

GE • PC

| GE || PC |

=

10

10

，
∴GE與PC所成的余弦值為

10

10

（2）平面PBG的單位法向量

n

=（0，±1，0）
∵

GD

=

3

4

 

AD

 =

3

4

BC

=(-

3

2

，

3

2

，0)，
∴點D到平面PBG的距離為|

GD

•

n

|=

3

2

（3）設F（0，y，z），則

DF

=(0，y，z)-(-

3

2

，

3

2

，0)=(

3

2

，y-

3

2

，z)
∵

DF

⊥

GC

，
∴(

3

2

，y-

3

2

，z)(0，20)=2y-3=0，
∴y=

3

2

，又

PF

=λ

PC

，即（0，

3

2

，z-4）=λ（0，2，-4），∴z=1，
故F（0，

3

2

，1），

PF

=(0，

3

2

，-3)，

FC

=(0，

1

2

，-1)，
∴

PF

FC

=

2 5 2

5 2

=3．

點評：本題考查空間幾何量的計算，準確把握立體幾何的最新發展趨勢：這樣可以減低題目的難度，堅持向量法與公理化法的“雙軌”處理模式，在復習備考時應引起高度注意．