Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓的中心在坐標原點，兩個焦點分別為，，點在橢圓 上，過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線分別為，且與交于點.

(1) 求橢圓的方程；

(2) 是否存在滿足的點? 若存在，指出這樣的點有幾個（不必求出點的坐標）; 若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) 滿足條件的點有兩個

【解析】

試題分析：(1) 解法1：設橢圓的方程為,

依題意:    解得:   

∴ 橢圓的方程為.

解法2：設橢圓的方程為，

根據橢圓的定義得，即， 

∵，  ∴.  

∴ 橢圓的方程為.

(2)解法1：設點,，則，

，

∵三點共線,

∴.  

∴,                  

化簡得：. ① 

由,即得. 

∴拋物線在點處的切線的方程為，即. ②

同理，拋物線在點處的切線的方程為 .    ③        

設點，由②③得：，

而，則 .

代入②得 ，   

則，代入 ① 得 ，即點的軌跡方程為.

若 ，則點在橢圓上，而點又在直線上，

∵直線經過橢圓內一點,

∴直線與橢圓交于兩點.

∴滿足條件 的點有兩個.

解法2：設點,，，

由,即得. 

∴拋物線在點處的切線的方程為，

即. 

∵， ∴ .

∵點在切線上,  ∴.       ①  

同理， . ②    

綜合①、②得，點的坐標都滿足方程.

∵經過的直線是唯一的，

∴直線的方程為，  

∵點在直線上，     ∴. 

∴點的軌跡方程為.  

若 ，則點在橢圓上，又在直線上，

∵直線經過橢圓內一點,

∴直線與橢圓交于兩點.

∴滿足條件 的點有兩個.

解法3：顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，

由消去，得.

設,則. 

由,即得.

∴拋物線在點處的切線的方程為，即.

∵， ∴.                                

同理,得拋物線在點處的切線的方程為.

由解得                    

∴. 

∵,

∴點在橢圓上.

∴.

化簡得.(*)

由,

可得方程(*)有兩個不等的實數根. ∴滿足條件的點有兩個.

考點：橢圓拋物線方程及性質，直線與橢圓拋物線相交的應用

點評：求橢圓方程采用了待定系數法與定義法，其中待定系數法是常用的方法，而利用定義求解能使一些題目的計算量較小很多；第二問在直線與圓錐曲線相交的背景下常聯立方程，利用韋達定理求解