Question

【題目】已知圓和拋物線，圓與拋物線的準線交于、兩點，的面積為，其中是的焦點.

（1）求拋物線的方程；

（2）不過原點的動直線交該拋物線于，兩點，且滿足，設點為圓上任意一動點，求當動點到直線的距離最大時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意表示的面積，解出p值，即可求出拋物線的方程；

（2）利用直線和拋物線的位置關系，建立方程組，進一步利用一元二次方程根與系數的關系建立等量關系，最后利用最大值求出直線的方程．

（1）由題意知，圓的標準方程為，圓心坐標為.

拋物線的焦點，準線方程為，

將代入圓方程，得，

∴ ，的面積為，

∴，∴拋物線的方程為.

（2）設的直線方程為，，，聯立方程組得：

，消去，整理得，

令，得.

由韋達定理得，①

則 .

由于，可得.

即，②

將①代入②整理得.

由于得，則直線過定點，

當時，圓心到直線的距離取得最大值，

此時，則直線的斜率為，

所以直線的方程為.