Question

命題：在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB，判斷此命題是否為真命題．若是，請給予證明，若不是，請舉出反例．

Answer 1

分析：方法一：利用正弦函數的單調性，及誘導公式，分當0＜B＜A≤

π

2

時和當0＜B＜

π

2

＜A＜π時兩種情況，分別討論原命題的真假，最后綜合討論結果可得答案．
方法二：根據三角形中大角對大邊，可得a＞b，進而由正弦定理，得到結論．

解答：解：這個命題是真命題．
方法1：（1）當0＜B＜A≤

π

2

時，y=sinx在（0，

π

2

]單調遞增，
∴sinB＜sinA．
（2）當0＜B＜

π

2

＜A＜π時，
∵A+B＜π，
∴

π

2

＜A＜π-B．
又∵y=sinx在（

π

2

，π）單調遞減，
∴sinA＞sin（π-B）=sinB．
即sinB＜sinA．
方法2：使用正弦定理證明．
在△ABC中，若A＞B，則a＞b，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=2R，
得2RsinA＞2RsinB
即sinA＞sinB成立．

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了正弦函數的圖象和性質，熟練掌握正弦函數的單調性是解答的關鍵．