Question

【題目】已知函數u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R．

（1）令m＝2，求函數h（x）的單調區間；

（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函數f（x）恰有兩個極值點x1，x2，且滿足1e（e為自然對數的底數）求x1x2的最大值．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間是（0，e），單調遞減區間是（e，+∞）（2）

【解析】

（1）化簡函數h（x），求導，根據導數和函數的單調性的關系即可求出

（2）函數f（x）恰有兩個極值點x1，x2，則f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個正根，由此得到m（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，消參數m化簡整理可得ln（x1x2）＝ln，設t，構造函數g（t）＝（）lnt，利用導數判斷函數的單調性，求出函數的最大值即可求出x1x2的最大值．

（1）令m＝2，函數h（x），∴h′（x），

令h′（x）＝0，解得x＝e，

∴當x∈（0，e）時，h′（x）＞0，當x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，

∴函數h（x）單調遞增區間是（0，e），單調遞減區間是（e，+∞）

（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnxx+1，

∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，

∵函數f（x）恰有兩個極值點x1，x2，

∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個不等正根，

∴lnx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，

兩式相減可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），

兩式相加可得m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，

∴

∴ln（x1x2）＝ln，

設t，∵1e，∴1＜t≤e，

設g（t）＝（）lnt，∴g′（t），

令φ（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，∴φ′（t）＝2t﹣2（1+lnt）＝2（t﹣1﹣lnt），

再令p（t）＝t﹣1﹣lnt，∴p′（t）＝10恒成立，

∴p（t）在（1，e]單調遞增，∴φ′（t）＝p（t）＞p（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，

∴φ（t）在（1，e]單調遞增，∴g′（t）＝φ（t）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，

∴g（t）在（1，e]單調遞增，∴g（t）max＝g（e），

∴ln（x1x2），∴x1x2

故x1x2的最大值為．