Question

【題目】如圖，三棱柱的棱長均為2，O為AC的中點，平面A'OB⊥平面ABC，平面⊥平面ABC.

（1）求證：A'O⊥平面ABC；

（2）求二面角A﹣BC﹣C'的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由已知可得AC⊥BO，平面A'OB⊥平面ABC，可證AC⊥平面BOA′，進而證明AC⊥A′O，再由面⊥平面ABC.，即可證明結論；

（2）以O為原點建立空間直角坐標系，求出坐標，求出平面法向量坐標，取平面ABC的法向量為（0，0，1），根據空間向量面面角公式，即可求解.

（1）證明：∵三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱長均為2，

O為AC的中點，∴AC⊥BO，

∵平面A'OB⊥平面ABC，平面A'OB∩平面ABC＝OB，

平面ABC，∴AC⊥平面BOA′，

平面BOA′，∴AC⊥A′O，

∵平面AA'C'C⊥平面ABC，平面AA'C'C∩平面ABC＝AC.

平面，∴A'O⊥平面ABC.

（2）解：由（1）得A'O⊥平面ABC，因為平面ABC，所以A'O⊥.

以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA′為z軸，

建立空間直角坐標系，則A（0，﹣1，0），B（，0，0），

C（0，1，0），C′（0，2，），

（，1，0），（，2，），

設平面BCC′的法向量（x，y，z），

則，

取x＝1，則，得（1，，﹣1），

平面ABC的法向量（0，0，1），

.

∴二面角A﹣BC﹣C'的余弦值為.