Question

【題目】在“挑戰不可能”的電視節目上，甲、乙、丙三個人組成的解密團隊參加一項解密挑戰活動，規則是由密碼專家給出題目，然后由個人依次出場解密，每人限定時間是分鐘內，否則派下一個人.個人中只要有一人解密正確，則認為該團隊挑戰成功，否則挑戰失敗.根據甲以往解密測試情況，抽取了甲次的測試記錄，繪制了如下的頻率分布直方圖.

（1）若甲解密成功所需時間的中位數為，求、的值，并求出甲在分鐘內解密成功的頻率；

（2）在“挑戰不可能”節目上由于來自各方及自身的心理壓力，甲，乙，丙解密成功的概率分別為，其中表示第個出場選手解密成功的概率，并且定義為甲抽樣中解密成功的頻率代替，各人是否解密成功相互獨立.

①求該團隊挑戰成功的概率；

②該團隊以從小到大的順序按排甲、乙、丙三個人上場解密，求團隊挑戰成功所需派出的人員數目的分布列與數學期望.

Answer 1

【答案】（1），，甲在分鐘內解密成功的頻率；（2）①；②詳見解析，.

【解析】

（1）根據中位數左右兩邊的矩形面積之和均為可求得、的值，并根據頻率分布直方圖求得甲在分鐘內解密成功的頻率；

（2）①由（1）得出，求出、的值，由此得出該團隊挑戰成功的概率為；

②由題意可得出隨機變量的可能取值有、、，利用獨立事件的概率乘法公式計算出隨機變量在不同取值下的概率，據此可得出隨機變量的分布列，結合期望公式可計算出的數學期望值.

（1）甲解密成功所需時間的中位數為，

，解得，

，解得，

由頻率分布直方圖知，甲在分鐘內解密成功的頻率是；

（2）①由題意及（1）可知第一個出場選手解密成功的概率為，

第二個出場選手解密成功的概率為，

第三個出場選手解密成功的概率為，

所以該團隊挑戰成功的概率為；

②由①可知按從小到大的順序的概率分別、、，

根據題意知的取值為、、，

則，，，

所以所需派出的人員數目的分布列為：

因此，.