Question

【題目】已知定義在R上的偶函數f（x）在（﹣∞，0]上單調遞增，且f（﹣1）＝﹣1.若f（x﹣1）+1≥0，則x的取值范圍是_____；設函數若方程f（g（x））+1＝0有且只有兩個不同的實數解，則實數a的取值范圍為_____.

Answer 1

【答案】[0，2] （﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）.

【解析】

根據f（x）的奇偶性和單調性列不等式求出x的范圍，根據g（x）的單調性和最值，分情況討論最值和±1的關系，從而確定a的范圍.

由f（x）是偶函數，且f（x）在上單調遞增，

所以f（x）在（0，+∞）上單調遞減，且f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，

由f（x﹣1）+1≥0可得：f（x﹣1）≥f（1），

所以﹣1≤x﹣1≤1，即0≤x≤2.

由f（g（x））+1＝0可得g（x）＝1或g（x）＝﹣1.

由函數解析式可知g（x）在（﹣∞，0]和（0，+∞）上均為增函數，

故當x∈（﹣∞，0]時，g（x）≤2﹣a，當x∈（0，+∞）時，g（x）＞﹣a，

（1）若1＞2﹣a＞﹣1＞﹣a，則g（x）＝1有1解，g（x）＝﹣1有2解，不符合題意；

（2）若2﹣a＞1＞﹣a＞﹣1，此時g（x）＝1有2解，g（x）＝﹣1有1解，不符合題意；

（3）若﹣a≥1，則g（x）＝1有1解，g（x）＝﹣1有1解，符合題意；

（4）若2﹣a＜﹣1，則g（x）＝1有1解，g（x）＝﹣1有1解，符合題意；

（5）若2﹣a＝1，則g（x）＝1有2解，g（x）＝﹣1有1解，不符合題意；

（6）若2﹣a＝﹣1，則g（x）＝﹣1有2解，g（x）＝1有1解，不符合題意；

綜上，﹣a≥1或2﹣a＜﹣1，解得a≤﹣1或a＞3.

故答案為：[0，2]，（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）.