Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，，.

（1）求證：平面BDE；

（2）求二面角C-EM-N的正弦值.

（3）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）；（3）AH的長(zhǎng)為4.

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理證明平面平面BDE，再由面面平行的性質(zhì)定理得出平面BDE；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求解即可得出線段AH的長(zhǎng).

（1）取AB中點(diǎn)F，連接MF，NF，

因?yàn)?/span>M為AD中點(diǎn)，

所以，

因?yàn)?/span>平面BDE，平面BDE，

所以平面BDE.

因?yàn)?/span>N為BC中點(diǎn)

所以，

又D，E分別為AP，PC的中點(diǎn)，

所以，則.

因?yàn)?/span>平面BDE，平面BDE，

所以平面BDE.

又，平面

所以平面平面BDE

平面

則平面BDE；

（2）因?yàn)?/span>底面ABC，.

所以以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系

因?yàn)?/span>，，

所以，，，，，，

則，，

設(shè)平面MEN的一個(gè)法向量為，

由，得，

取，得.

由圖可得平面CME的一個(gè)法向量為.

所以.

所以二面角C-EM-N的余弦值為，則正弦值為；

（3）設(shè)，則，，.

因?yàn)橹本�MH與直線BE所成角的余弦值為，

所以，

解得：.

所以當(dāng)H與P重合時(shí)直線NH與直線BE所成角的余弦值為，此時(shí)線段AH的長(zhǎng)為4.