Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，過左焦點的直線與橢圓交于，兩點，且線段的中點為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設為上一個動點，過點與橢圓只有一個公共點的直線為，過點與垂直的直線為，求證：與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析，，

【解析】

（Ⅰ）設，，根據點，都在橢圓上，代入橢圓方程兩式相減，根據“設而不求”的思想，結合離心率以及中點坐標公式、直線的斜率建立等式即可求解.

（Ⅱ）設，由對稱性，設，由，得橢圓上半部分的方程為，從而求出直線的方程，再由過點與垂直的直線為，求出，兩方程聯立，消去，即可求解.

（Ⅰ）由題可知，直線的斜率存在.

設，，由于點，都在橢圓上，

所以①，②，

①-②，化簡得③

又因為離心率為，所以.

又因為直線過焦點，線段的中點為，

所以，，，

代入③式，得，解得.

再結合，解得，，

故所求橢圓的方程為.

（Ⅱ）證明：設，由對稱性，設，由，得橢圓上半部分的方程為，，

又過點且與橢圓只有一個公共點，所以，

所以：，④

因為過點且與垂直，所以：，⑤

聯立④⑤，消去，得，

又，所以，從而可得，

所以與的交點在定直線上.