Question

【題目】筆、墨、紙、硯是中國獨有的文書工具，即“文房四寶”.筆、墨、紙、硯之名，起源于南北朝時期，其中的“紙”指的是宣紙，宣紙“始于唐代，產于涇縣”，而唐代涇縣隸屬于宣州府管轄，故因地而得名“宣紙”，宣紙按質量等級，可分為正牌和副牌（優等品和合格品），某公司年產宣紙10000刀（每刀100張），公司按照某種質量標準值給宣紙確定質量等級，如下表所示：

公式在所生產的宣紙中隨機抽取了一刀（100張）進行檢驗，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知每張正牌紙的利潤是10元，副牌紙的利潤是5元，廢品虧損10元.

（1）估計該公式生產宣紙的年利潤（單位：萬元）；

（2）該公司預備購買一種售價為100萬元的機器改進生產工藝，這種機器的使用壽命是一年，只能提高宣紙的質量，不影響產量，這種機器生產的宣紙的質量標準值的頻率，如下表所示：

其中為改進工藝前質量標準值的平均值，改進工藝后，每張正牌和副牌宣紙的利潤都下降2元，請判斷該公司是否應該購買這種機器，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）400萬元；（2）應該購買，理由見解析

【解析】

（1）由頻率分布直方圖求得張宣紙中各類宣紙的數量，結合每種宣紙的盈虧即可容易求得結果；

（2）由頻率分布直方圖求得，即可求得各區間的頻率分布，據此即可求得結果.

（1）由頻率分布直方圖可知，一刀（100張）宣紙中有正牌宣紙100×0.1×4=40張，

有副牌宣紙100×0.05×4×2=40張，

有廢品100×0.025×4×2=20張，

所以該公司一刀宣紙的年利潤為40×10+40×5+20×（-10）=400元，

所以估計該公式生產宣紙的年利潤為400萬元;

(2) 由頻率分布直方圖可得

這種機器生產的宣紙質量指標的頻率如下表所示：

則一刀宣紙中正牌的張數為100×0.6826=68.26張，

副牌的張數約為100×（0.9544－0.6826）=27.18張，

廢品的張數約為100×（1－0.9544）=4.56張，

估計一刀宣紙的利潤為：68.26×（10－2）+27.18×（5－2）+4.56×9（－10）=582.02，

因此改進工藝后生產宣紙的利潤為582.02－100=482.02元，

因為482.02>400，所以該公式應該購買這種設備.