Question

已知直線l：y=kx+1與雙曲線C：

x2

3

-y2=1的左支交于點A，右支交于點B、
（Ⅰ）求斜率k的取值范圍；
（Ⅱ）若△AOB的面積為

6

（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）將直線方程與雙曲線的方程聯立得到關于x的二次方程，根據兩個交點的橫坐標異號，利用韋達定理得到兩個橫坐標的積，令其小于0求出k的范圍．
（II）根據直線l：y=kx+1的縱截距為1，利用三角形的面積公式表示出△AOB的面積，利用韋達定理表示出|x₂-x₁|，解方程求出k的值，得到直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+1 x2-3y2-3=0

?(1-3k2)x2-6kx-6=0
由題意

1-3k2≠0 △=36k2+24(1-3k2)＞0?- 3 3 ＜k＜ 3 3 x1x2= -6 1-3k2 ＜0

（Ⅱ）S△ABC=

1

2

×1×|x2-x1|
∵

x1+x2= 6k 1-3k2 x1x2= -6k 1-3k2

∴S△ABC=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

24-36k2

1-3k2

=

6-9k2

1-3k2

=

6

?k=0或k=±

2

2

，又-

3

3

＜k＜

3

3

∴k=0
則直線l的方程為y=1

點評：解決直線與圓錐曲線的位置關系，一般采用的方法是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，得到關于某未知數的二次方程，再利用韋達定理找突破口來解決．