Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側面底面，為棱的中點，為棱上任意一點，且不與點、點重合．．

（1）求證：平面平面；

（2）是否存在點使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）存在，為中點

【解析】

（1）證明面，即證明平面平面；（2）以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系．利用向量方法得，解得，所以為中點．

（1）由于為中點，．

又，故，

所以為直角三角形且，

即．

又因為面，面面，面面，

故面，

又面，所以面面．

（2）由（1）知面，又四邊形為矩形，則兩兩垂直．

以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系．

則，設，

則，

設平面的法向量為，

則有，令，則，

則平面的一個法向量為，

同理可得平面的一個法向量為，

設平面與平面所成角為，

則由題意可得，解得，

所以點為中點．