Question

某中學有A、B、C、D、E五名同學在高三“一檢”中的名次依次為1，2，3，4，5名，“二檢”中的前5名依然是這五名同學．
（1）求恰好有兩名同學排名不變的概率；
（2）如果設同學排名不變的同學人數為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）先求出第二次排名，恰好有兩名同學排名不變的情況數，以及第二次排名情況總數，根據古典概型的概率公式解之即可
（2）第二次同學排名不變的同學人數X可能的取值為5，3，2，1，0，然后分別求出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望公式解之即可．

解答：解：（1）第二次排名，恰好有兩名同學排名不變的情況數為：C₅²C₂¹C₁¹C₁¹=20（種），
第二次排名情況總數為：A₅⁵=120．所以恰好有兩名同學排名不變的概率為p=

20

120

=

1

6

．
（2）第二次同學排名不變的同學人數X可能的取值為5，3，2，1，0．
p(X=5)=

1

120

，
p(X=3)=

C

3 5

×

1

120

=

1

12

，
p(X=2)=

1

6

．
p(X=1)=

C

1 5

C 1 3 C 1 3

120

=

45

120

=

3

8

，
p(X=0)=1-(

1

120

+

1

12

+

1

6

+

3

8

)=

44

120

=

11

30

．
X分布列為

X	0	1	2	3	5
P	11 30	3 8	1 6	1 12	1 120

X的數學期望EX=0×

11

30

+1×

3

8

+2×

1

6

+3×

1

12

+5×

1

120

=1．

點評：本題主要考查了古典概型的概率，以及排列組合和離散型隨機變量的期望和分布列等有關知識，屬于中檔題．