Question

【題目】已知函數 ，

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，判斷函數，（）有幾個零點，并證明你的結論；

（3）設函數，若函數在為增函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調增區間,單調減區間為,;（2）有2個零點，證明見解析;（3）

【解析】

對函數求導,利用導數的正負判斷函數的單調區間即可;

函數有2個零點.根據函數的零點存在性定理即可證明;

記函數,求導后利用單調性求得,由零點存在性定理及單調性知存在唯一的,使，求得為分段函數,求導后分情況討論：①當時，利用函數的單調性將問題轉化為的問題;②當時，當時,在上恒成立，從而求得的取值范圍.

（1）由題意知,，列表如下：

		0		2
		0
		極小值		極大值

所以函數的單調增區間為，單調減區間為,.

（2）函數有2個零點.證明如下：

因為時，所以，

因為,所以在恒成立,在上單調遞增，

由，，且在上單調遞增且連續知,

函數在上僅有一個零點，

由（1）可得時,，

即，故時，，

所以，

由得，平方得，所以，

因為，所以在上恒成立,

所以函數在上單調遞減,因為,所以,

由，，且在上單調遞減且連續得

在上僅有一個零點，

綜上可知：函數有2個零點.

（3）記函數，下面考察的符號．

求導得．

當時恒成立．

當時，因為，

所以．

∴在上恒成立，故在上單調遞減．

∵，∴，又因為在上連續，

所以由函數的零點存在性定理得存在唯一的，使，

∴,

因為,所以

∴

因為函數在上單調遞增,,

所以在，上恒成立．

①當時，在上恒成立，即在上恒成立．

記，則，

當變化時，，變化情況如下表：

		極小值

∴，

故，即．

②當時，，當時，在上恒成立．

綜合（1）（2）知， 實數的取值范圍是．