Question

已知函數f（x）=ax²-（a+3）x+4，
（1）若y=f（x）的兩個零點為α，β，且滿足0＜α＜2＜β＜4，求實數a的取值范圍；
（2）若函數y=log_a+1f（x）存在最值，求實數a的取值范圍，并指出最值是最大值還是最小值．

Answer 1

分析：（1）畫出對應圖象，由圖象得出的結論可以求出實數a的取值范圍；
（2）先求真數的最值，再利用復合函數的最值求法求整個函數的最值即可，（注意底數滿足的條件）．

解答：解：（1）滿足條件的圖形如下，
所以有

f(0)＞0 f(2)＜0 f(4)＞0

或

f(0)＜0 f(2)＞0 f(4)＜0

?

2

3

＜a＜1
故所求實數a的取值范圍是 (

2

3

，1)；
（2）因為f（x）=a（x-

a+3

2a

）²+4-

(a+3)2

4a

．有最值為4-

(a+3)2

4a

，
當4-

(a+3)2

4a

＞0時，
可得，a＜0或1＜a＜9，又a+1＞0?a＞-1．
由復合函數的最值可得
當-1＜a＜0時，y=log_a+1）f（x）存在最小值
當1＜a＜9時，y=log_a+1）f（x）存在最小值．
故-1＜a＜0或1＜a＜9時，y=log_a+1）f（x）存在最小值．

點評：本題涉及到一元二次方程的根的分布與系數的關系以及函數最值的應用，是對基礎知識的綜合考查．