Question

【題目】若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①為的重心；

②；

③當(dāng)時(shí)，平面；

④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________________.

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，而正方體的體對(duì)角線與和它不相交的的面對(duì)角線垂直，所以直線垂直于平面，而為正三角形，可得為正三角形的重心，所以①是正確的；

②取的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)在平面的正投影在上，記為，而平面平面，所以，所以②正確；

③若設(shè)，則由可得，然后對(duì)應(yīng)邊成比例，可解，所以③正確；

④由于，而的面積是定值，所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，而當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)為棱長(zhǎng)為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯(cuò)誤.

因?yàn)?/span>，連接，則有平面平面為正三角形，所以為正三角形的中心，也是的重心，所以①正確；

由平面，可知平面平面，記，

由，可得平面平面，則，所以②正確；

若平面，則，設(shè)由得，易得，由，則，由得，，解得，所以③正確；

當(dāng)與重合時(shí)，最大，為棱長(zhǎng)為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③