Question

【題目】如圖，三棱柱的所有棱長都是， 平面， ， 分別是， 的中點．

（）求證： 平面．

（）求二面角的余弦值．

（）求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）1

【解析】試題分析:（1）根據(jù)三角形相似得，根據(jù)直棱柱性質(zhì)得，又由等邊三角形性質(zhì)得，所以由線面垂直判定定理得平面，即，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系求二面角的余弦值．（3）根據(jù)向量投影得點到平面的距離為，再利用向量數(shù)量積求夾角可得結(jié)果

試題解析：（）證明：∵平面， 平面，∴，

∵是等邊三角形，∴，又，

∴平面，

以為原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則， ， ， ， ，

∴， ， ，

∴， ，∴， ，

又，∴平面．

（）， ，

設(shè)平面的法向量為，則，∴，

令得，又為平面的法向量，

∴二面角的余弦值為 ．

（）， ， ，

∴直線與平面所成角的正弦值為，∴點到平面的距離為．