【題目】各項均為正數的數列
的前
項和為
，
，且
.
（1）求證：數列不是等差數列；
（2）是否存在整數
，使得
對任意的
都成立？證明你的結論.
【答案】（1）見解析（2）存在，證明見解析.
【解析】
（1）由
，
得
，根據等差數列的性質即可證明；
（2）證明數列
的奇數項和偶數項都是等差數列，分
為偶數和為奇數兩種情況進行討論，結合等差數列的求和公式得出
，再解不等式
，求出
的范圍，即可得出結論.
（1）由，得
如果數列是等差數列，則
，即
，解得
與已知
矛盾，則數列不是等差數列；
（2）當
時，
，
當
時，由得，
兩式相減化簡得：
，
數列的奇數項是以
為首項，公差為
的等差數列
數列的偶數項是以
為首項，公差為的等差數列
當為偶數時
對任意的
都成立，即
對任意的都成立
，結合
，解得
，
則可取
，使得對任意為偶數時成立
當為奇數時
，即
，結合，解得
則可取
，使得對任意為奇數時成立
綜上，即存在整數為
，使得對任意的都成立.
孟建平錯題本系列答案
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】朱載堉（1536—1611），明太祖九世孫，音樂家、數學家、天文歷算家，在他多達百萬字的著述中以《樂律全書》最為著名，在西方人眼中他是大百科全書式的學者王子。他對文藝的最大貢獻是他創建了“十二平均律”，此理論被廣泛應用在世界各國的鍵盤樂器上，包括鋼琴，故朱載堉被譽為“鋼琴理論的鼻祖”。“十二平均律”是指一個八度有13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音頻率是最初那個音頻率的2倍，設第二個音的頻率為
，第八個音的頻率為
，則
等于
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業經過短短幾年的發展，員工近百人.不知何因，人員雖然多了，但員工的實際工作效率還不如從前.
年
月初，企業領導按員工年齡從企業抽選
位員工交流，并將被抽取的員工按年齡（單位：歲）分為四組:第一組
，第二組
，第三組
，第四組
，且得到如下頻率分布直方圖：
（1）求實數
的值；
（2）若用簡單隨機抽樣方法從第二組、第三組中再隨機抽取
人作進一步交流，求“被抽取得人均來自第二組”的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了增強學生的安全意識，某校組織了一次全校2500名學生都參加的“安全知識”考試，閱卷后，學校隨機抽取了100份考卷進行分析統計，發現考試成績(x分)的最低分為51分，最高分為滿分100分，并繪制了如下尚不完整的統計圖表.請根據圖表提供的信息，解答下列問題:
(1)填空:
______，
______，
______;
(2)將頻數分布直方圖補充完整;
(3)該校對考試成績為
的學生進行獎勵，按成績從高分到低分設一二三等獎，并且一二三等獎的人數比例為1:3:6，請你估算全校獲得二等獎的學生人數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為保障城市蔬菜供應，某蔬菜種植基地每年投入20萬元搭建甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入2萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜.根據以往的經驗，發現種西紅柿的年收入
、種黃瓜的年收入
與大棚投入
分別滿足
，
.設甲大棚的投入為
，每年兩個大棚的總收入為
.（投入與收入的單位均為萬元）
（Ⅰ）求
的值.
（Ⅱ）試問：如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使年總收人最大？并求最大年總收入.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】直線
與橢圓
交于
，
兩點，已知
，
，若橢圓的離心率
，又經過點
，
為坐標原點．
(1)求橢圓的方程；
(2)當
時,試問：
的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4
4：坐標系與參數方程：在直角坐標系xoy中，曲線
的參數方程為
，（
為參數），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；
（2）設P為曲線C1上的動點，求點P到C2上點的距離的最小值．
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