Question

(本小題滿分12分)學科網已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F為棱BB_1學科網              的中點，M為線段AC₁的中點.學科網

   （1）求證：直線MF∥平面ABCD；學科網

   （2）求證：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；學科網

   （3）求平面AFC₁與與平面ABCD所成二面角的大小.學科網

學科網

Answer 1

（1）略  （2）略（3）30°或150°

解析:

：解法一：

   （1）延長C₁F交CB的延長線于點N，連接AN。因為F是BB₁的中點，

       所以F為C₁N的中點，B為CN的中點。2分

       又M是線段AC₁的中點，故MF∥AN。·3分

       又MF平面ABCD，AN平面ABCD。

       ∴MF∥平面ABCD。·5分

（2）證明：連BD，由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，∴A₁A⊥BD。∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD。又∵AC∩A₁A=A，AC，AA平面ACC₁A₁。∴BD⊥平面ACC₁A₁。··7分在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四邊形DANB為平行四邊形                  故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因為NA平面AFC₁∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁

  （3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，

∴AC₁⊥NA。又由BD⊥AC可知NA⊥AC，   ∴∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角或補角。10分在Rt△C₁AC中，tan，故∠C₁AC=30°

∴平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°。···12分