Question

【題目】已知首項相等的兩個數列滿足.

（1）求證：數列是等差數列；

（2）若，求的前n項和；

（3）在（2）的條件下，數列是否存在不同的三項構成等比數列？如果存在，請你求出所有符合題意的項；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析

【解析】

(1) 等式兩邊同時除以,化簡即可得到,即證明出所求;

(2)由(1)可知,因為,則,利用錯位相減即可求得的前n項和;

(3)由(2)的結論可知可知是遞增數列,假設數列存在不同的三項構成等比數列設為只需證明即可,但是化簡后得,即為偶數(偶數+奇數),其結果不能為零,即可證得不存在.

（1）∵，∴，∴，

∴，是首項為1，公差為2的等差數列.

（2）由（1）知，∴，

①

②

①-②，得

所以，，

（3）不存在.因為，所以是遞增數列.

設正整數滿足，則，

而是偶數，

所以，是奇數，所以，，所以，.

即，中任意三個不同的項不能構成等比數列.