Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側面底面，為上的點，且平面

（1）求證：平面平面；

（2）當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）.

【解析】

（1）通過側面底面，可以證明出面，這樣可以證明出

，再利用平面，可以證明出，這樣利用線面垂直的判定定理可以證明出面，最后利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面；

（2）利用三棱錐體積公式可得，

利用基本不等式可以求出三棱錐體積最大值，此時可以求出的長度，以點為坐標原點，以，和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系．求出相應點的坐標，求出面的一個法向量，面的一個法向量，利用空間向量數量積的運算公式，可以求出二面角的余弦值.

（1）證明：∵側面底面，側面底面，四邊形為正方形，∴，面，

∴面，

又面，

∴，

平面，面，

∴，

，平面，

∴面，

面，

∴平面平面．

（2），

求三棱錐體積的最大值，只需求的最大值．

令，由（1）知，，

∴，

而，

當且僅當，即時，

的最大值為．

如圖所示，分別取線段，中點，，連接，，

以點為坐標原點，以，和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系．

由已知，

所以，

令為面的一個法向量，

則有，

∴

易知為面的一個法向量，

二面角的平面角為，為銳角

則.