Question

已知α為銳角且tan(

π

4

+α)=2，
（1）求tanα的值；
（2）求

2 sin(2α+ π 4 )cosα-sinα

cos2α

的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正切公式，結合題意解關于tanα的方程，即可得tanα的值；
（2）根據二倍角的三角函數公式，將原式化簡可得原式等于cosα+sinα．再由同角三角函數的關系，結合（1）的結論加以計算，即可算出原式的值．

解答：解：（1）∵tan(

π

4

+α)=2
∴

tan π 4 +tanα

1-tan π 4 tanα

=2，即

1+tanα

1-tanα

=2，
解之得tanα=

1

3

；
（2）

2 sin(2α+ π 4 )cosα-sinα

cos2α

=

cosα(sin2α+cos2α)-sinα

cos2α-sin2α

=

2co s2αsinα+cos2αcosα-sinα

cos2α-sin2α

=

cos2α(cosα+sinα)

cos2α-sin2α

=cosα+sinα
∵知α為銳角且tanα=

1

3

∴sinα=

10

10

，cosα=

3 10

10

，可得cosα+sinα=

2

5

10

．

點評：本題已知tan(

π

4

+α)=2，求tanα并求三角函數式的值，著重考查了同角三角函數基本關系和二倍角的正弦、余弦公式等知識，屬于中檔題．